Алгебра бесконечно-малых или как я стал Королем Альтов.

[Король Альтов]

   Алгебра это раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел. Алгебра — это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма. Алгебраическая система — упорядоченная пара множеств . Первое множество (R) — элементы какой либо природы (числа, понятия, буквы). Второе множество (E) — операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень). Примерами алгебраических систем являются группы, кольца, поля.
      Современный математический анализ это совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их
обобщений методами дифференциального и интегрального исчисления (анализ бесконечно-малых). В более общей трактовке к
анализу относят и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.
    Вместе с тем очевидно, что бесконечно малые это те же самые числовые обьекты, которые изучаются в алгебре, но обладающие просто рядом особых свойств. Отсюда очевидно следует, что раздел математики занимающийся изучением бесконечно малых это просто особая алгебра, подобная обычной общей алгебре, то-есть алгебра бесконечно малых. Это означает что современный математический анализ или анализ бесконечно-малых несовершеннен по своей сути и концепции, хотя бы потому что в нем, в отличие от алгебры, рассматривается только два базовых действия аналогичных сложению и вычитанию это интегрирование и дифференцирование. В данной работе будет предложен принципиально новый подход к анализу бесконечно-малых, как к алгебре бесконечно малых, в которой будут рассматриваться четыре основных базовых действия. Такой подход обладает не только простой и ясностью, но представляет ряд неоспоримых преимуществ по сравнению со стандартным соверменным математическим анализом и является по сути его принципиальным усовершенствованием. В данной постановке алгебра бесконечно малых является по сути многомерным обобщением современного математического анализа, соответствующая природе многомерности нашего мира.

[Король Альтов]

Лирическое отступление.     Когда мне было года 4, то я любил летом в речке красивые камушки собирать. Красивые я в карман клал, а остальные выбрасывал. Меня как то удивило, что от больших камушков много брызг, а от маленьких мало, поэтому количество движения или импульс пропорциональны массе  P~M.  Еще я заметил, что если плоский маленький камушек очень сильно кидать рикошетом об воду, то от него брызг получается не меньше чем от большого, то-есть импульс еще и скорости пропрционален P ~ V. Тогда отсюда ясно, что импульс может быть равен просто произведению массы на скорость P=MV. Конечно, чтобы придать камушку импульс, надо его взять в руку, приложить силу F и в течение быстрого промежутка времени dt бросить его или dP = F* dt => dP/dt = F. Вот и вся механика Ньютона, поскольку первый закон Ньютона есть всего лишь частный случай второго, а третий это технический нюанс. Конечно я тогда не знал математики и мои представления остались только образными, и только впоследствии я их перевел в формулы. Конечно моя формулировка второго закона лучше, чем у Ньютона, а главное абсолютно понятна и доказуема, а не постулируема. Вот с такими представлениями мне почему то вся школьная математика казалась абсолютно непригодной для понимания реального мира и вообще наукой слабоумных и ненормальных людей. Правда в первом классе я учился хуже всех и чуть не остался на второй год из за плохого почерка. В пятом меня вообще чуть не выгнали за хулиганство и неуспеваемость, но я оказался звездой школы по математике и стал учиться чуть не лучще всех. Откровенно говоря, я стеснялся, что был в математике умнее всех, потому что мне все математики казались идиотами. Мне всегда была интересна физика, но там что то было не так, и в ней я не блистал. На первом курсе интститута меня удивляло, зачем надо целый семестр заниматься только дифференцированием. Поначалу мне казалось, что в институте по математике я чуть не тупее всех, но я жестоко ошибался. Когда же во втором семестре я узнал теорему Ньютона-Лейбница, то был просто восхищен красотой этой идеи полностью. Во мне просто пробудился джин и захотелось изобрести что то подобное интегральному и дифференциальному исчислению Ньютона. Меня стало интересовать вариационное исчисление, исчисление конечных разностей и впоследствии теория вероятности как возможная основа квантововой механики. Года через 3 -4, когда математику уже давно перестали преподавать, то мои однокурсники в ней уже сурово потупели, а мои знания выросли многократно. Наверное к концу института я знал ее не хуже, если не лучше, чем многие преподаватели математики. Вот тогда то я и придумал принципиально существенное усовершенствование математического анализа, по сути сведя его к аналогу алгебры, но уже алгебры бесконечно малых. Конечно математический анализ, так как его преподносят в институтах, выглядит как то неуклюже, несовершенно и непонятно, а вот как алгебра бесконечно малых он смотрелся бы гораздо понятней, проще, а главное на порядок совершеннее.

[Король Альтов]

Основная идея алгебры бесконечно-малых -1.
1). Основные базовые алгебраические действия. Как известно в алгебре четыре основных действия.
1.1).     Сложение:    \(  X+Y=Z \)
1.2).     Вычитание:   \(  X-Y=Z \)
1.3).    Умножение:   \( X \times Y=Z  \)
1.4).    Деление:       \( X:Y = \frac{X}{Y}=Z \)
1.exp). Показательная функция: в качестве примечания следует отметить, что возведение в степень, радикалы, показательная сепень и логарифм не совсем тривиальным образом вписываются в наши представления о четырех основных алгебраических действиях. Однако с другой стороны радикалы, как и возведение в степень являются частными случаями показательной и логарифмической функции, а сама показательная функция есть некое обобщение операций умножения и сложения и самостоятельной операцией считаться не может. Это скорее можно считать уже элементарными или специальными функциями, которые могут быть, как известно, выражены через совокупность базовых алгебраических действий.
1.J).     Неполнота множества вещественных чисел: общеизвестно, что четыре базовых алгебраических действия над множеством вещественных чисел \(\mathbb{R} \) не обладают свойством полноты, несмотря на общеизвестную аксиому полноты Дедикинда. Фактически здесь речь идет о том, что требуется дополнительное специальное пятое алгебраическое действие извлечение корня квадратного из -1. \( j := \sqrt{-1} \) .
При этом мы получаем вместо множества вещественных чисел \(\mathbb{R} \) равномощное ему расширение множество комплексных чисел \(\mathbb{C} \) .
При этом \( Z=X+JY \) , где \( Z \in \mathbb{C},  X \in \mathbb{R},  Y \in \mathbb{R} \).

[Король Альтов]

Основная идея алгебры бесконечно-малых-1.*
1.*). Очень важные понятия и обобщения.
1.*.1). Существенным обобщением множества чисел является понятие вектора, которое просто необходимо для полноценного развития алгебры бесконечно-малых.
Числа будем обозначать как обычно, а для вектора Х будем использовать обозначение \(\vec{X_n} := ( x_1,x_2, ..... x_n )  \)
1.*.2). К сожалению некоторые математические операции неприменимы к вектору и поэтому мы будем далее в общем случае вместо переменной или числа использовать матрицу квадратную NxN как совокупность N векторов  \(\vec{ Xi} := (xi_1,xi_2,....xi_n ) \) размерности N каждый.
Тогда в общем виде матрица размерности m на n (m=n) запишется в виде
\(  X_{m,n} =  \begin{pmatrix}
  x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,n} \\
  x_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & x_{2,n} \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  x_{m,1} & x_{m,2} & \cdots & x_{m,n}
 \end{pmatrix} \)
В этом случае под вектором просто будем понимать частный случай n=1, а под числом тривиальную матрицу m=n=1.

[Король Альтов]

Основная идея алгебры бесконечно-малых-2.
   Математический анализ в отличие от алгебры трактуется совсем по-другому - есть интеграл, а есть производная. Это не самый лучший подход к высшей математике. Самый лучший состоит в том, что между элементарной алгеброй и алгеброй бесконечно малых есть полная аналогия, то-есть в алгебре бесконечно малых также есть четыре основных действия. Для начала повторим очевидное и пройденное в начальной школе.
Школьная математика: school2.1). Аддитивный интеграл  \[ F = \int_a^b  f \mathrm{d}x = lim_{ n \to \infty \\ \Delta x_i \to 0 } \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x_i  \]
Школьная математика: school2.2). Аддитивная производная  \[ \frac{dF}{dx} = F'(x) =  lim_{  \Delta x \to 0 } \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} \]
PS. Поскольку тема стала исключительно простой и очевидной приходится ввести 2-3 определения, без которых двигаться вперед в неизвестные для современной математики просторы просто невозможно.
Определение 1. Понятие матричного вектора. Матричным вектором maV будем называть трехмерную матрицу размера [nxn]xm подобную вектору размерности m , у которого в качестве компонент служат матрицы размером [nxn].
\[ maV (A):= [A1_{n,n}, A2_{n,n}.... Ai_{n,n}....Am_{n,n} ]  ;  Ai_{n,n} =  \begin{pmatrix}
  ai_{1,1} & ai_{1,2} & \cdots & ai_{1,n} \\   ai_{2,1} & ai_{2,2} & \cdots & ai_{2,n} \\   \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  ai_{n,1} & ai_{n,2} & \cdots & ai_{n,n}  \end{pmatrix}  \]
Определение 2. Производная по вектору от матрицы. Далее будем использовать в качестве независимой переменной Х вектор размерности m -  \(\vec{X}:= ( x_1,x_2, .... x_m )  \) . В качестве функции будем рассматривать матрицу размерности [nxn]
\[  F_{n,n} =  \begin{pmatrix}
  F_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & F_{1,n} \\   F_{2,1} & F_{2,2} & \cdots & F_{2,n} \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\   F_{n,1} & F_{n,2} & \cdots & F_{n,n}   \end{pmatrix} \]
В качестве производной функции-матрицы F по вектору X будем рассматривать матричный вектор, состоящий из матриц производных по координатам вектора Х
\[ \frac{dF}{dx}: = [\frac{ \partial F}{ \partial x_1}, \frac{ \partial F}{ \partial x_2}...  \frac{ \partial F}{ \partial x_i}...\frac{ \partial F}{ \partial x_m} ] ;  \frac{ \partial F}{ \partial x_i} =  \begin{pmatrix}
   \frac{ \partial F_{1,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{1,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{1,n}}{ \partial x_i} \\
 \frac{ \partial F_{2,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{2,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{2,n}}{ \partial x_i} \\   \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  \frac{ \partial F_{n,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{n,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{n,n}}{ \partial x_i}  \end{pmatrix}  \]
Определение 3. Скалярное произведение матричных  векторов. Пусть имеются матричные вектора A размерности [nxn]xm и B размерности [n1xn1]xm, тогда их скалярным произведением <A,B> будем считать матрицу вида \[ <A,B>: = A ^. B:=  \sum_{i=1}^{n} Ai_{n,n} Bi_{n,n} \]
Если n=n1, тогда \( Ai_{n,n} Bi_{n,n}= Ci_{n,n} \) есть обычная матрица [nxn], где \( ci_{j,k} =  \sum_{l=1}^{n}ai_{j,l} bi_{l,k} \)
Если n1=1, тогда получаем скалярное произведение матричного вектора A на обычный вектор \(\vec { X_m } := ( x_1,x_2, ..... x_m )  \)  \[ <A,X>: = A ^. X:=  \sum_{i=1}^{m} Ai_{n,n} xi \]
Пример - скалярное произведение производной от функции F по вектору Х на диффернициал вектора Х.
\[< \frac{dF}{dX}, dX >:= \frac {dF}{dX}*dX :=  \sum_{i=1}^{m}\frac{ \partial F}{ \partial x_i}dx_i \]

[Король Альтов]

Основная идея алгебры бесконечно-малых-3.
Теперь с учетом введенных понятий можно привести определения всех четырех основных действий алгебры бесконечно-малых.
3.1). Аддитивный интеграл   \[ F = \int_a^b  f *\mathrm{d}X = \begin{pmatrix}
\int \sum_{l=1}^{m}fl_{1,1}dx_l  & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{1,2}dx_l & \cdots & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{1,n}dx_l \\
\int \sum_{l=1}^{m}fl_{2,1}dx_l & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{2,2}dx_l & \cdots & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{2,n}dx_l  \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
 \int \sum_{l=1}^{m}fl_{n,1}dx_l  & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{n,2}dx_l  & \cdots & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{n,n}dx_l  \end{pmatrix} \]
3.2). Аддитивная производная
 \[ \frac{dF}{dx} = F'(x) =  [\frac{ \partial F}{ \partial x_1}, \frac{ \partial F}{ \partial x_2}...  \frac{ \partial F}{ \partial x_i}...\frac{ \partial F}{ \partial x_m} ] ;  \frac{ \partial F}{ \partial x_i} =  \begin{pmatrix}
   \frac{ \partial F_{1,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{1,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{1,n}}{ \partial x_i} \\
 \frac{ \partial F_{2,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{2,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{2,n}}{ \partial x_i} \\   \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  \frac{ \partial F_{n,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{n,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{n,n}}{ \partial x_i}  \end{pmatrix}  \]
3.3). Мультипликативный интеграл
  \[ F = \prod^b_a ( E + f*dX) ?= EXP( \int_a^b  f *\mathrm{d}X) \]
3.4). Мультипликативная производная
 \[ \frac{dП F}{dX} = \frac {dF}{dX}F(X)^{-1} := [F(X+dX) - F(X)] F(X)^{-1} dX^{-1} ?= \frac{d Ln[F(X)]}{dX} \]

[Scyther]

Там еще много чего есть для умного ума подобобщить, однако
 

http://www.math.harvard.edu/archive/21a_spring_09/PDF/13-05-curl-and-divergence.pdf

[Король Альтов]

Там еще много чего есть для умного ума подобобщить, однако
 

http://www.math.harvard.edu/archive/21a_spring_09/PDF/13-05-curl-and-divergence.pdf

Спасибо посмотрел, но тут идеи на порядок круче - по сути предлагается принципиально новая оперция мультипликативный интеграл в самом общем виде. Такой математической операции в современной математике нет.

[Scyther]

Спасибо посмотрел, но тут идеи на порядок круче - по сути предлагается принципиально новая оперция мультипликативный интеграл в самом общем виде. Такой математической операции в современной математике нет.

Мультипликативный интеграл (инфинитезимальное исчисление Волтерра) как и матрицант обсуждаются в известной книге Гантмахера.
Гантмахер пишет, что мультипликативный интеграл (по-немецки Product-Integral) был использован Шлезингером при исследовании систем линейных диффуров с аналитическими коэффициентами. У него имеется ссылка на оригинальную работу [134] от 1937 года.

См. например
http://sernam.ru/book_matrix.php?id=116

[Король Альтов]

Мультипликативный интеграл (инфинитезимальное исчисление Волтерра) как и матрицант обсуждаются в известной книге Гантмахера.
Гантмахер пишет, что мультипликативный интеграл (по-немецки Product-Integral) был использован Шлезингером при исследовании систем линейных диффуров с аналитическими коэффициентами. У него имеется ссылка на оригинальную работу [134] от 1937 года.

См. например
http://sernam.ru/book_matrix.php?id=116

Увы увы это всего лишь узкий частный случай того, что предлагаю я.
Замечательная монография Гантмахера имеется в моей личной библиотеке.