Вернемся к книге "Вращение"
Необходимо отметить рецензентов данной книги:
Рецензенты:
Балакина Екатерина Викторовна, д.т.н., профессор, Волгоградский
государственный технический университет
Денисов Александр Сергеевич, д.т.н., профессор, Саратовский
государственный технический университет им. Ю.А. Гагарина
Надо отметить и объем используемой литературы. Список используемой литературы составляет 114 источников.
Как видим работа проделана очень серьезная и прошла проверку на самом высшем уровне.
Предисловие
В природе существуют два вида движения — прямолинейное и вращательное. Любое криволинейное движение можно
разложить на эти два движения. При этом надо учитывать, что
к вращательному движению относятся и поворотные движения.
Главное различие между вращательным и поворотным движениями только в углах поворота. При вращательном движении
исследуемая материальная точка или тело совершает постоянные повороты на 360o вокруг центра вращения, при поворотном движении та же точка или тело совершает поворот меньше
360o. Общим для поворотного и вращательного движений является то, что и для поворота, и для вращения можно выделить
центр поворота или вращения, и то, что и поворот, и вращение
осуществляется по дуге окружности. Но имеются и существенные отличия. Траектория вращения — это окружность, по которой материальная точка или тело проходит многократно,
траектория поворота — это кривая, по которой материальное
тело или точка проходит один раз. Но принципиальные отличия
вращательного (поворотного) движения от прямолинейного не
в этом. А в том, что силы, вызывающие вращение (повороты),
отличаются от сил, вызывающих прямолинейное движение.
Причем разница не в природе сил, силы как раз одни и те же,
а в результатах действия сил на материальную точку или тело.
Первое отличие, которое сразу бросается в глаза, это то, что
при действии сил на материальную точку или тело в процессе
сохранения прямолинейного движения материальная точка или
тело получает реальное ускорение, т.е. у него реально изменяет-
ся величина количества движения (импульса). А в результате поворотного или вращательного движения изменения количества
движения не происходит, т.е. импульс остается неизменным по
величине, меняется только направление его вектора.
Тем не менее в современной научной и учебной литературе
принято любое изменение импульса называть ускорением. Таким образом, ускорение, реализуемое как изменение скорости
по величине, инстинктивно (на уровне чувств) воспринимаемое как ускорение, называется ускорением. Так и изменение
направления скорости, которое не меняет величину скорости,
также называется ускорением. Такое смешение понятий вызывает некоторый когнитивный диссонанс в начале обучения, но
впоследствии ученик привыкает к принятым названиям и воспринимает как должное, что под термином ускорение понимаются два совершенно разных понятия.
Но так как под термином «ускорение» понимаются два принципиально разных процесса, то, естественно, появляется необходимость изобрести два дополнительных термина, чтобы
отличать одно ускорение от другого. Так и появились термины
«тангенциальное ускорение» и «нормальное ускорение». Первый термин описывает ускорение в смысле изменения величины скорости, в результате действия сил вдоль вектора скорости.
А второй термин описывает изменение направления скорости
под действием сил, перпендикулярных к вектору скорости, причем величина скорости при этом не изменяется.
Если вникать в причины такого когнитивного диссонанса, то
выясняются очень интересные вещи. В современной литературе
не принято упоминать, что основоположник современной динамики Исаак Ньютон под термином «ускорение» понимал именно первое значение современного термина. Так, в своем труде
«Математические начала» второй закон динамики он формулировал следующим образом:
«Закон II
Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой,
по которой эта сила действует» [87, с. 40].
Ясно, что И. Ньютон имел в виду только действие сил вдоль
направления скорости, и под ускорением под действием силы
понимал именно ускорение как изменение количества движения. А ранее Ньютон дает определение, что такое количество
движения:
«Определение II
Количество движения есть мера такового, устанавливаемая
пропорционально скорости и массе» [87, с. 24].
То есть переводя на современный язык, под «количеством
движения» Ньютон понимал «импульс», а под термином «изменение количества движения» он подразумевал «ускорение».
И дословно, второй закон Ньютона в интерпретации автора
звучит так: «Изменение величины импульса (ускорение) пропорционально действующей силе и направлено по прямой вдоль
вектора силы». В таком виде второй закон Ньютона никак не соответствует современной интерпретации.
Приведенные цитаты прямо говорят о том, что Ньютон провозглашал свои законы динамики исключительно в рамках прямолинейного движения. Тем не менее в дальнейшем произошло
расширение понятий законов Ньютона. И такое расширительное понятие законов динамики вызвано тем, что прямолинейное движение не может описать весь комплекс видов движения,
встречающихся в природе. Тем не менее за основу приняты
именно законы Ньютона, но для совмещения были переформулированы некоторые основополагающие понятия. Так, например, термин «ускорение», которое Ньютон понимал исключительно как «изменение количества движения», в современной литературе понимается как «любое изменение движения,
включая изменение направления при неизменном количестве
движения».
Этот процесс описывает Лакатос следующими словами:
«У всех исследовательских программ есть “твердое ядро”. Отрицательная эвристика запрещает использовать modus tollens,
когда речь идет об утверждениях, включенных в “твердое ядро”
Вместо этого мы должны напрягать нашу изобретательность,
чтобы прояснять, развивать уже имеющиеся или выдвигат
новые “вспомогательные гипотезы”, которые образуют “защитный пояс” вокруг этого ядра; modus tollens своим острием
направляется именно на эти гипотезы. Защитный пояс должен
выдержать главный удар со стороны проверок, защищая, таким
образом, окостеневшее ядро, он должен приспосабливаться,
переделываться или даже полностью заменяться, если того требуют интересы обороны. Если все это дает прогрессивный сдвиг
проблем, исследовательская программа может считаться успешной. Она неуспешна, если это приводит к регрессивному сдвигу
проблем» [76, с. 80].
По поводу динамики Ньютона Лакатос пишет следующее:
«Отрицательная эвристика ньютоновской программы запрещала применять modus tollens к трем ньютоновским законам динамики. В силу методологического решения сторонников этой
программы это “ядро” полагалось неопровергаемым. Считалось,
что аномалии должны вести лишь к изменениям “защитного пояса” вспомогательных гипотез и граничных условий» [76, с. 81].
Таким образом мы видим, что в динамике прямолинейного движения Ньютона входит «твердое ядро», а все изменения,
вносимые в первоначальные постулаты и законы Ньютона, это
ни что иное, как «защитный пояс», появление которого необходимо для защиты твердого (неизменяемого) ядра от нападок на
существенные нестыковки ядра и реальной действительности.
Как говорит Лакатос, чтобы сохранить в неизменности ядро,
«мы должны напрягать нашу изобретательность и развивать уже
имеющиеся или выдвигать новые вспомогательные гипотезы».
Именно в результате такого чуда изобретательности и появилось новое определение «ускорения», которое совсем не ускорение, так как величина импульса не меняется.
И это не единственное отличие поворотного и прямолинейного движений. Во вращательных системах отсчета появляются
совершенно невозможные в прямолинейном движении силы и
ускорения. Речь идет о силе Кориолиса и кориолисовом ускорении. В прямолинейном движении ничего подобного не имеется.
Тем не менее путем проявления чудес изворотливости в современной динамике на основе прямолинейного фундамента, путем дополнительных гипотез и теорем, объясняются явления,
не свойственные прямолинейному движению. Другими словами, законы прямолинейного движения не в состоянии полностью описывать поворотное движение.
Из вышеизложенного может создаться неправильное представление, что авторы пытаются противопоставить прямолинейное и криволинейное движение. На самом деле это не так.
Авторы предлагают поступить намного проще. А именно, ввести в ядро динамики, кроме раздела прямолинейного движения,
дополнительный раздел поворотного движения. И таким образом составить составное ядро динамики, в части прямолинейного движения все теоремы и следствия будут основываться на
законах и аксиомах «прямолинейной» части ядра, соответственно явления поворотных движений будут основываться на «вращательной» части общего составного ядра.
Именно этому посвящена первая глава данной книги.
Кроме этого, в первой главе рассматривается общераспространенная ошибка, состоящая в том, что инерциальной может рассматриваться только система координат, движущаяся
прямолинейно и равномерно. В действительности зачастую за
инерциальную систему отсчета можно принять и равномерно
вращающуюся систему координат. Но опять же следует различать, что если для равномерно движущейся прямолинейно системы отсчета размеры не имеют значения, то для равномерно
вращающейся системы отсчета размеры действия инерциальности имеют решающееся значение. Такую инерциальную систему отсчета, имеющую ограниченные размеры применения
постулатов инерциальности, Эйнштейн назвал «карманной».
В современной научной и учебной литературе применяется другой термин «локальная система отсчета». Характерно, что Эйнштейн не оговаривал размеры «кармана», в пределах которого
действуют законы инерциальности. В современной литературе
также не определены размеры локальности системы отсчета.
В первой главе эта неопределенность устранена и заданы четкие
пределы, в которые укладываются возможности применимости
законов инерциального движения
Во второй главе рассматриваются законы движения сферического маятника. Движение сферического маятника интересен тем, что, во-первых, его движение вращательное, поэтому
сферический маятник относится к телам, совершающим вращательное движение. А во-вторых, аналитическое решение в элементарных функциях для него до сих пор не получено. Все имеющиеся решения трансцендентны.
Оказывается, что получить элементарное решение возможно, но для этого необходимо от евклидовых векторов перейти к
топологическим векторам, предлагаемым авторами.
В современной научной и учебной литературе полностью
отсутствуют понятия топологических векторов. Единственный
вид векторов применяемых в современной литературе, это «евклидовые» вектора. Так как это единственный вид векторов,
встречающийся в современной литературе, то особых обозначений для них не придумано. Тем не менее авторами показано, что
на основе глубокого анализа векторного и тензорного исчислений можно абсолютно строго и логично ввести такое понятие,
как «топологические вектора». Оказывается, что введенные топологические вектора удобно применять в задачах движения в
неевклидовых пространствах. Другими словами, топологические вектора являются аналогами евклидовых векторов, но не
в евклидовом, а в нееклидовых пространствах. Как показано,
некоторые доказательства теорем могут быть перенесены на неевклидовые пространства при замене евклидовых векторов на
топологические (неевклидовые).
Именно введение такого понятия и позволило авторам получить решение уравнений движения сферического маятника в элементарных функциях. Авторы использовали то обстоятельство,
что сферический маятник движется по поверхности сферы. А сфера является частным случаем неевклидового пространства, поэтому при решении задачи движения маятника по поверхности сферы
используются не общие теоремы неевклидовой геометрии, а сферическая геометрия с ярко выраженным центром пространства.
Также показано, что переход от евклидовых векторов к топологическим во многих случаях позволяет упростить решение
сложных задач. В частности, показано, что методом топологических векторов вместо предлагаемого в современной литературе,
как единственное решение задачи движения сферического маятника в виде эллиптических интегралов, приводится решение в
виде решения задачи Кеплера для орбитального движения материальной точки. Данная задача легко решается в элементарных
функциях и служит эффективной заменой решения в эллиптических интегралах, какими сейчас предлагается решать задачу сферического маятника в современной научной и учебной
литературе как единственно возможное решение. Аналогично
можно решать многочисленные задачи движения тел в сложных
условиях, существенно упрощая и само решение, и методы его
достижения.
Главное преимущество метода топологических векторов для
задач движения материальной точки с ограничивающими связями состоит в том, что если в евклидовом пространстве движение всегда трехмерно, то в неевклидовом пространстве это
движение, как максимум, двумерно. Причем если траектория
движения материальной точки известна заранее, то задача сводится к одномерному движению вдоль неевклидовой линии, т.е.
движение одномерно.
Последний вопрос, рассматриваемый в главе, это вопрос
существования надвекторных структур. Обычные вектора по
традиции имеют три взаимно ортогональных координаты. Но
кроме обычных векторов также имеются еще и сложносоставные векторы. Например, в конце XIX в. было введено понятие
«мóтора» — вектора, имеющего шесть координат, три координаты обычного вектора перемещения в пространстве и три координаты момента (вращения) вокруг оси вектора перемещения.
На основе таких сложных векторов было построено винтовое
исчисление векторной алгебры. В главе показано, что понятия
«мóтора» недостаточно для полного описания пространственного движения материальных точек и тел в пространстве. Необходимо дополнить введением понятия «кóлеса», т.е. сложного
вектора, имеющего девять координат, один обычный вектор перемещения и два вектора моментов, один параллельный вектор
перемещения и один вектор момента, перпендикулярный к первому моменту.
В третьей главе рассматриваются две задачи небесной механики. Такой выбор темы обусловлен тем, что все известные
задачи небесной механики сводятся к задачам вращения небесных тел вокруг общего центра тяготения. Так движутся планеты
в солнечной системе, так движутся двойные звезды и звезды в
составе галактик. Таким образом, в космосе вращательное движение встречается чаще, чем прямолинейное.
Движение небесных тел происходит под действием многочисленных и разнообразных по своему характеру и происхождению сил. Законы их действия известны не до конца, ограничиваются приближенным исследованием движения небесных тел.
В первом приближении можно считать, что на небесные тела
действуют только силы взаимных притяжений, определяемых
законом всемирного тяготения Ньютона.
Несмотря на многочисленные упоминания об окончательном решении задачи двух тел в современной литературе, задача
двух тел методом задачи Кеплера не может быть решена. Метод
Кеплера дает решение движения одного тела в гравитационном
поле неподвижного притягивающего тела. В главе приводится
метод решения задачи двух тел, вращающихся вокруг неподвижного центра инерции системы, методом, хотя и аналогичным решению задачи Кеплера, тем не менее отличающимся
тем, что позволяет решить общую задачу двух тел, а не ограниченную входящим условием, что в центре расположено массивное Солнце, а вокруг него вращается одна планета с массой намного меньше массы Солнца.
Также рассматривается задача n тел, как расширение задачи
двух тел. Принято считать, что задачу n тел можно решить, имея
7n первых интегралов системы. При этом опять же принято считать, что данная задача имеет всего семь первых интегралов,
аналогично задаче двух тел. Однако это совсем не так.
Задача n тел в небесной механике на самом деле имеет 7n первых интегралов. Однако наличие достаточного количества первых интегралов не дает возможности решить задачу в общем виде.
Решение, полученное из первых интегралов, действительно
только до тех пор, пока конфигурация системы (взаимное расположение тел) неизменно. Всякое смещение взаимного расположения тел системы меняет численные значения «постоянных»
интегрирования. Поэтому методом «первых интегралов» можно
решать исключительно задачи движения тела возле неподвижных центров. То есть в условиях, когда остальные тела, кроме
исследуемого, неподвижны. Для решения задачи движения системы свободных (не закрепленных) тел можно воспользоваться некоторыми методами «теории игр», так как в исследуемой
задаче (n тел) ситуация четко определяется взаимным положением взаимодействующих тел.
Задачу можно решать «шаговым» методом, а именно, решая
на каждом шагу задачу определения следующего движения тел
системы исходя из сложившейся ситуации.
Предложенное решение вполне осуществимо. Для решения
подходят такие методы, как методы Рунге—Кутта и др.
Разбирая задачи небесной механики, невозможно обойти
молчанием такую значимую фигуру, как Клавдий Птолемей. Необходимость возврата к имени и наследию знаменитого астронома вызвана тем, что полное отвержение системы Птолемея
было большой научной ошибкой. Эта ошибка была сделана не
по научным доводам и аргументам, а из «политических» соображений в борьбе с засильем Церкви. Несмотря на то, что в современной научной и учебной литературе говорится, что теория
Коперника—Кеплера призвана уточнить расчеты, проводимые
по теории Птолемея, на самом деле все наоборот.
Птолемей в своих расчетах предвосхитил методы гармонического анализа Фурье и разложение сложного движения планет
на простые (круговые) эпициклы — это схема разложения в ряд
периодических функций. Единственно, что в системе Птолемея
противоречит современным научным данным, так это геоцентризм. Но в действительности геоцентризм не мешает, достаточно объявить, что перенос «центра Мира» с Солнца на Землю
всего лишь перенос системы отсчета от одной системы координат, связанной с Солнцем, к другой системе координат, связан
ной с Землей. Подобные переносы систем координат хорошо известны и не вызывают возражений.
Также показано, что система расчетов Кеплера не является
ни более простой, ни более точной по сравнению с системой
расчетов «по Птолемею». Разбору значения наследия великого
астронома древности посвящена четвертая глава.
В пятой главе, которая, по сути, является продолжением
предыдущей, сделана попытка разгадать идеи, заложенные в
теории Птолемея, и рассказать о том, как эти идеи могут быть
применены в современной теории и практике. Необходимо учитывать, что в астрономических расчетах древности не было никаких способов определения действительных размеров орбит
движения планет. В расчетах Птолемея полностью отсутствовали понятия радиуса орбит. Даже отсутствовали радиусы деферента или большого круга и малых кругов эпициклов. В теории
Птолемея присутствовали только отношения малых и больших
кругов. То есть все движения Солнца, Луны, планет и звезд проецировались на сферу наблюдения, причем радиус сферы наблюдения никак не оговаривался, кроме того, что его размеры
предполагались намного больше, чем размеры Земли. Показано, что метод разложения сложных планетных движений в теории Птолемея не является аналогом разложения в ряды Фурье.
В отличие от формально-математического разложения Фурье,
Птолемей использовал разложение в ряд периодических движений, имеющих реальное физическое существование.
Подобный метод по праву может быть назван разложением
в ряд естественных колебаний. Разложение в ряд естественных
колебаний может быть с успехом применен для анализа причин появления колебаний в динамической системе не только
в астрономии, но и в других отраслях науки и техники.
